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Cinématique ou mouvement bidimensionnel dans un plan

Cinématique ou mouvement bidimensionnel dans un plan

Choisir les coordonnées

La cinématique implique le déplacement, la vitesse et l’accélération, qui sont toutes des quantités vectorielles nécessitant à la fois une grandeur et une direction. Par conséquent, pour commencer un problème dans la cinématique bidimensionnelle, vous devez d’abord définir le système de coordonnées que vous utilisez. Généralement, ce sera en termes de X-axis et un y-axis, orienté de manière à ce que le mouvement soit dans le sens positif, même s’il peut y avoir des cas où ce n’est pas la meilleure méthode.

Dans les cas où la gravité est envisagée, il est habituel de définir le sens de la gravité dans le sens négatif.y direction. Ceci est une convention qui simplifie généralement le problème, bien qu'il soit possible d'effectuer les calculs avec une orientation différente si vous le souhaitez vraiment.

Vecteur de vitesse

Le vecteur de position r est un vecteur qui va de l'origine du système de coordonnées à un point donné du système. Le changement de position (Δr, prononcé "Delta r") est la différence entre le point de départ (r1) au point final (r2). Nous définissons le vitesse moyenne (vun V) comme:

vun V = (r2 - r1) / (t2 - t1) = Δrt

En prenant la limite comme Δt approche 0, nous réalisons la vélocité instantanée v. En termes de calcul, c'est la dérivée de r par rapport à t, ou r/dt.

Lorsque la différence de temps diminue, les points de départ et d'arrivée se rapprochent. Depuis la direction de r est la même direction que v, il devient clair que le vecteur vitesse instantanée en chaque point du chemin est tangent au chemin.

Composants de vélocité

Le trait utile des quantités de vecteurs est qu’elles peuvent être décomposées en leurs vecteurs composants. La dérivée d'un vecteur est la somme de ses composantes composantes, donc:

vX = dx/dt
vy = mourir/dt

La magnitude du vecteur vitesse est donnée par le théorème de Pythagore sous la forme:

|v| = v = sqrt (vX2 + vy2)

La direction de v est orienté alpha degrés dans le sens anti-horaire de la X-component, et peut être calculé à partir de l'équation suivante:

bronzer alpha = vy / vX

Vecteur d'accélération

L'accélération est le changement de vitesse sur une période donnée. Semblable à l'analyse ci-dessus, nous trouvons que c'est Δvt. La limite de ceci comme Δt approche 0 donne la dérivée de v par rapport à t.

En termes de composants, le vecteur d’accélération peut s’écrire comme suit:

uneX = dvX/dt
uney = dvy/dt

ou

uneX = 2X/dt2
uney = 2y/dt2

La magnitude et l'angle (notés comme bêta distinguer de alpha) du vecteur d’accélération nette sont calculés avec des composants similaires à ceux de la vitesse.

Travailler avec des composants

La cinématique bidimensionnelle implique souvent la décomposition des vecteurs pertinents en leur X- et y-components, puis analyser chacun des composants comme s'il s'agissait de cas unidimensionnels. Une fois cette analyse terminée, les composantes de vitesse et / ou d'accélération sont ensuite combinées pour obtenir les vecteurs de vitesse et / ou d'accélération bidimensionnels résultants.

Cinématique tridimensionnelle

Les équations ci-dessus peuvent toutes être développées pour le mouvement en trois dimensions en ajoutant un z-component à l'analyse. Ceci est généralement assez intuitif, même si un soin particulier doit être pris pour s'assurer que cela est fait dans le bon format, en particulier en ce qui concerne le calcul de l'angle d'orientation du vecteur.

Anne Marie Helmenstine, Ph.D.